De Gortari

De Gortari, E. (1987): "Heurística", en De Gortari, E.: .Lógica general. México: Grijalbo. Pp. 223-235.

1. Caracterización de los Problemas

Las expresiones del pensamiento constituyen preguntas y problemas por resolver, o bien, respuestas y soluciones a las indagaciones realizadas. En este sentido, el curso del conocimiento científico consiste en una sucesión ininterrumpida de problemas que surgen a partir de los resultados obtenidos en las investigaciones anteriores y se resuelven mediante el razonamiento y la experimentación. A su vez, cada solución lograda entraña otros problemas que, al ser resueltos o esclarecidos, conducen nuevamente a interrogantes y, así, prosigue una cadena interminable de preguntas y respuestas. Para encontrar la solución de esos problemas, la actividad científica ha establecido procedimientos adecuados y desenvuelve continuamente otros nuevos. Entre ellos se encuentran los experimentos que nos informan, tan exacta y completamente como es posible, acerca de los procesos naturales y sociales, lo mismo que sobre sus conexiones activas y su mutua causalidad. También se encuentran las teorías; que nos permiten reunir los resultados de los experimentos en una explicación común, necesaria y suficiente. Por último, tenemos la aplicación de dichas teorías para intervenir, de manera directa y concreta, en el comportamiento procesos de la sociedad y la naturaleza, haciendo que produzcan la satisfacción de las necesidades humanas y resolviendo prácticamente, de esa manera, los problemas que impulsan la propia actividad científica.

En términos generales, por problema entendemos cualquier dificultad que no se pueda resolver automáticamente, es decir, con la sola acción de nuestros reflejos instintivos y condicionados, o mediante el recuerdo de lo que hemos aprendido anteriormente. Por lo tanto, continuamente se suscitan ante nosotros los más diversos problemas, cada vez que nos enfrentamos a situaciones desconocidas, ante las cuales carecemos de conocimientos específicos suficientes. Entonces nos vemos obligados a buscar la solución o el comportamiento adecuado para poder enfrentarnos venturosamente a tales situaciones. Por otra parte, además de los problemas que nos imponen directamente las condiciones naturales y sociales en que vivimos, constantemente estamos creando o inventando otros problemas; como son, por ejemplo, la explicación de los procesos recién descubiertos, la demostración de teoremas, la verificación de hipótesis, la decisión entre dos o más teorías en pugna, o bien, la transformación de la naturaleza y la sociedad. Esta actitud se acentúa críticamente en nuestras actividades científicas y filosóficas, que entonces advertimos problemas que en otros casos ignoramos otros nuevos, los planteamos con la máxima claridad, los insertamos en el sistema de conocimientos adquiridos y los tratamos de resolver con el mayor rigor posible, siempre con el afán de enriquecer nuestros conocimientos.

Los problemas científicos pueden ser teóricos o prácticos, abstractos o concretos, y consistir en la indagación de soluciones o en el establecimiento de demostraciones. Los problemas por resolver implican la necesidad de hallar la respuesta a una cuestión indagada, descifrar los valores de ciertas incógnitas, descubrir algún proceso desconocido, encontrar la manera de intervenir en el comportamiento de un proceso para cambiarlo, construir objetos o instrumentos, formular nuevos conceptos, inferir conclusiones, establecer hipótesis o determinar explicaciones pertinentes. En cambio, los problemas por demostrar nos imponen la necesidad de verificar la solución hallada para una cuestión, demostrar o refutar racionalmente alguna hipótesis, comprobar o eliminar experimentalmente la conclusión de un razonamiento, o resolver la contradicción entre dos o más posibilidades incompatibles. En este capítulo nos ocuparemos de los problemas por resolver, dejando el tratamiento de los problemas por demostrar para el capítulo siguiente.

2. Posibilidad de los problemas.

En el transcurso histórico de la ciencia, se han llegado a tener por insolubles algunos problemas. Pero ha sido el propio desarrollo científico el que se ha encargado de demostrar, una y otra vez, que no existen problemas que sean radicalmente insolubles. Incluso los más famosos problemas pretendidamente insolubles, como la “cuadratura del círculo", la "trisección de un ángulo", el "movimiento perpetuo” y la “transmutación de los metales", han dejado de serlo en cuanto la ciencia ha avanzado lo suficiente para poderlos resolver, aunque muchas veces por procedimientos enteramente distintos a los intentados con anterioridad. En rigor, la misma selección de los problemas que hacen los investigadores científicos, no está determinada solamente por las características de los procesos a los cuales atañen, sino también por el conjunto de los conocimientos adquiridos, o bien, por ciertas necesidades teóricas (como puede ser, por ejemplo, la de someter a prueba una teoría), por las posibilidades metodológicas existente y por imperativos de carácter filosófico. En último término, los problemas son abordados por la ciencia respondiendo a las necesidades sociales más importantes de cada época.

Desde el punto de vista lógico, las condiciones requeridas para que un problema sea soluble, son: que el lapso para resolverlo no sea limitado; que el planteamiento sea hecho correctamente; que la solución buscada no entrañe algo que resulte ser objetivamente imposible; y que se disponga de los instrumentos metodológicos necesarios, incluyendo entre ellos; en su caso, los aparatos de experimentación indispensables. Cuando no se cumple esta última condición, se plantea el nuevo problema de crear o desarrollar los métodos que resulten adecuados. En todo caso, los problemas no surgen ni se plantean espontáneamente, sino que siempre es el hombre quien los formula, con base en sus conocimientos y necesidades de toda índole. Por consiguiente, cuando un problema no se puede resolver en un momento o en una época dada, eso indica que no se han considerado justamente las bases en que se apoya, que hacen falta otros conocimientos ineludibles, que se ha hecho un planteamiento incorrecto, que el procedimiento seguido no es el adecuado. De este modo, la limitación de la ciencia para la solución de sus problemas, no tiene otro sentido que el de reconocer las fronteras transitorias que son inherentes al nivel alcanzado por el propio conocimiento científico; pero esas fronteras son completamente salvables y relativas y, lo que es más, de hecho están siendo traspuestas constantemente y en todos sentidos por el avance de la investigación científica.

3. Comprensión de los problemas.

Antes de intentar resolver un problema es indispensable comprenderlo. En primer lugar, se requiere entender cabalmente el enunciado del problema. Luego hay que considerarlo atentamente en su conjunto, sin ocuparse de sus detalles, para aprehenderlo con la mayor claridad impregnándose de su contenido Después es conveniente tratar de imaginar la solución o alguna de las soluciones posibles, sin preocuparse todavía del camino que pueda conducir a ella. Una vez conseguido lo anterior, es necesario hacer un análisis del problema, para diferenciar netamente los datos de que se dispone, saber cuál es la incógnita y determinar cuáles son las condiciones que debe cumplir. En seguida es preciso considerar los elementos principales, examinándolos sucesivamente, combinándolos de diversas maneras y estableciendo las relaciones que puedan existir entre cada uno de ellos y los otros, lo mismo que entre cada elemento y el problema en conjunto. En particular, se debe indagar si los datos son suficientes para plantear el problema, si la incógnita se encuentra bien definida y si la condición establecida es suficiente para determinar la incógnita. Supongamos, por ejemplo, que se nos propone el problema de:

Encontrar la diagonal de un paralelepípedo rectangular, conociendo el largo, el ancho y la altura de dicho hexaedro.

Lo primero que debemos hacer es entender el enunciado. Es necesario saber que un paralelepípedo rectangular es un cuerpo sólido que tiene seis caras y todas ellas son paralelogramos rectángulos, de tal manera que dichas caras son paralelas de dos en dos y, a la vez, cada una es perpendicular a las otras cuatro. Para considerar el problema en su conjunto, en este caso lo mejor es dibujar un paralelepípedo rectangular. Luego podemos tratar de imaginar la solución, para lo cual designamos cada uno de los 8 vértices con una letra, a saber: A, B, C, D, E, F, G, H; y también trazamos una de sus diagonales, AG. Entonces podemos advertir que dicha diagonal se encuentra contenida en una figura plana definida por las aristas AD y FG, que concurren respectivamente en los vértices unidos por la diagonal y que comprende, por ende, los otros dos vértices correspondientes, D y F. Por otra parte, también advertimos que dicha figura es un paralelogramo rectangular, puesto que sus lados AD y FG son paralelos por ser ambos perpendiculares a la cara CDHG, y sus lados AF y DG también son paralelos por ser las intersecciones entre dos caras paralelas y el plano ADFG, que es perpendicular a ellas. Igualmente podemos advertir que la diagonal AG del paralelepípedo es simultáneamente la diagonal del paralelogramo ADGF. De esa manera, nos es posible imaginar que una solución del problema consiste en encontrar la diagonal del paralelogramo ADGF.

Ahora volvamos a examinar los datos del problema. Se supone que conocemos el largo, el ancho y la altura, los cuales podemos simbolizar por las letras siguientes: a= largo, b= ancho, y c= altura. La incógnita del problema es la diagonal, que podemos representar por x= diagonal. La condición consiste en que la diagonal x deba unir dos vértices que no se encuentren unidos por algunas de las aristas del paralelepípedo, ni tampoco por alguna de sus caras. En seguida examinamos los elementos de que disponemos. Para ello, podemos señalar los datos que poseemos. El largo a es la arista DC, el ancho b es la arista CG, la altura c es la arista BC, y la diagonal x es la recta AG. Con facilidad podemos ver como, por las propiedades del paralelepípedo, tenemos que las aristas Ab, EF y HG son iguales a DC y, por lo tanto, iguales al largo a; análogamente las aristas AE, BF y DH son iguales al ancho b; y las aristas AD, EH y FG son iguales a la altura c. Esto es, que las 12 aristas del paralelepípedo constituyen 4 largos, 4 anchos y 4 alturas. Además, las 4 aristas que representan el largo son paralelas entre sí y perpendiculares a las otras 8 aristas; y lo mismo sucede con las 4 aristas que son anchos y con las 4 aristas que son alturas. Por otra parte, podemos advertir que la condición indicada sí se cumple, puesto que el vértice A está unido con los vértices E, B y D por las aristas AE, AB y AD respectivamente; y con los vértices F, C y H por las caras AEFB, ABCD y AEHD, respectivamente; de tal manera que el único vértice con el cual no se encuentra unido de ese modo es G y, por consiguiente, la recta AG es una diagonal del paralelepípedo.

4. Planteamiento de los Problemas.

El planteamiento de un problema siempre toma en cuenta, de manera sintética, los conocimientos adquiridos con anterioridad. A la vez, en el problema se expresan fundamentalmente los resultados -tanto de la experimentación como del desarrollo teórico- que no se pueden explicar todavía por completo, con apoyo en los conocimientos anteriores. Por otra parte, en el planteamiento correcto del problema descansa la posibilidad de su solución. En cada caso concreto, el problema debe corresponder a las condiciones objetivas que lo hayan hecho surgir. Además, existen ciertas reglas generales, de cuya acertada interpretación y conveniente aplicación resulta el planteamiento correcto del problema. Tales reglas se han extraído directamente del examen lógico de numerosos planteamientos efectuados por parte de los científicos, en aquellos casos en que han tenido éxito al encontrar la solución de los problemas propuestos. Dichas reglas son:

1. Todo problema debe ser establecido explícitamente y formulado en términos inteligibles y procesos.

2. El planteamiento debe ser consecuente, es decir, que no debe presentar la posibilidad de que las conclusiones teóricas que él se deriven, se encuentren en discrepancia con los resultados ya obtenidos en la investigación experimental.

3. Las tentativas de solución se deben derivar lógicamente del planteamiento establecido.

4. Toda condición que se establezca debe ser aplicable en la práctica y, además, tanto el punto de partida como la estimación de los resultados deben implicar solamente la ejecución de operaciones y experimentos posibles.

5. Todas las definiciones incluidas en el planteamiento o implicadas por éste, deben ser de tal carácter que permitan el reconocimiento de los procesos o relaciones definidos, cuando éstos ocurran en la experiencia o en el desarrollo teórico, en los mismos términos de la definición.

6. EI planteamiento debe contener explícitamente la posibilidad de que las inferencias que se practiquen puedan resultar incorrectas al tratar de verificarlas en la experiencia, de tal manera que siempre sea posible modificar el planteamiento conforme a los resultados experimentales que se obtengan.

7. El planteamiento no debe negar a priori ningún resultado experimental, sino que, por el contrario, debe permitir la inclusión de cualquier resultado experimental que se establezca con rigor, manteniéndose siempre dentro del margen de modificabilidad de la regla anterior. Por lo demás, cuando en el curso de la investigación el científico llega a advertir que las condiciones planteadas resultan insuficientes para encontrar la solución del problema, entonces procede a modificar su planteamiento e, incluso, a transformarlo por completo. Por otro lado, es probable que en el momento de plantear el problema todavía no tengamos una comprensión completa y clara del mismo. Pero, a medida que vayamos avanzando en su solución, iremos profundizando y esclareciendo nuestra comprensión del problema. En todo caso, la aplicación adecuada y estricta de las reglas antes dichas es una condición necesaria, aunque no suficiente, para poder encontrar una solución satisfactoria de cualquier problema.

5. Concepción del plan.

Tal como se descubre en la observación más superficial acerca de su comportamiento, el hombre reflexiona siempre antes de actuar, primero traza el plan de su actividad y sólo después lo pone en ejecución práctica. Sobre todo, cuando se quiere actuar con éxito es indispensable pensar previamente en el problema, ya que conociendo las condiciones y las posibilidades de una acción es como se puede conseguir el propósito perseguido al ejecutarla. Por lo tanto, antes de proceder a intentar la resolución de un problema, es menester concebir un plan de las operaciones y experimentos que sea necesario llevar a cabo para hallar la solución. En algunas ocasiones, el plan se va concibiendo gradualmente; en otros casos, la idea del plan puede surgir de pronto, después de un período de tanteos y ensayos infructuosos. Muchas veces, el camino que nos lleva desde la comprensión del problema hasta la concepción del plan para resolverlo, es un camino largo y sinuoso. Desde luego, es difícil tener una buena idea para resolver un problema, cuando no se sabe mucho acerca de la disciplina en cuestión; y es enteramente imposible llegar a tener alguna idea, cuando no se tiene ningún conocimiento de esa disciplina.

Para poder planear la solución de un problema, es indispensable recordar los conocimientos que sean pertinentes. Pero no basta con simple esfuerzo de memoria para formular el plan; de la misma manera como, para construir un edificio es necesario contar con los materiales requeridos y, sin embargo, los materiales solos no bastan para construirlo. Es imprescindible combinar los conocimientos aislados, organizándolos y adaptándolos al problema propuesto. Para ello, puede ser conveniente tratar de recordar un problema ya resuelto antes y cuya incógnita sea similar. También puede ser útil enunciar el problema de una manera diferente, para advertir así mejor su semejanza con otros problemas. En ciertos casos, es posible examinar cuál o cuáles de los teoremas conocidos pueden ser aplicables en la resolución. De esta manera, partiendo de los elementos principales del problema, se indagan sus puntos de contacto con los conocimientos ya adquiridos, luego se combinan y organizan dichos conocimientos, en seguida se hacen diversos tanteos y ensayos hasta encontrar una idea que nos permita concebir un plan que sea plausible. A veces, esa idea puede ser incompleta, pero aun así es conveniente examinarla y desarrollarla en todo aquello que parezca fructuoso, hasta agotar las posibilidades que nos sean practicables.

Entre los procedimientos que podemos ensayar para llegar a formular el plan de resolución de un problema, se encuentran la generalización, la particularización, la analogía, la descomposición seguida de la composición, la variación y el establecimiento de uno o varios problemas auxiliares. La generalización puede servir para resolver más fácilmente algunos problemas. Por ejemplo, supongamos que se nos propone el siguiente problema:

Dados una recta y un icosaedro regular, con sus correspondientes posiciones relativas, encontrar un plano que pase por la recta y divida al icosaedro en dos partes iguales.

Pues bien, reflexionando sobre las propiedades del icosaedro regular, podemos llegar a advertir que es un cuerpo que posee un centro de simetría. Además, no es posible generalizar el problema propuesto, formulándolo así:

Dados una recta y un cuerpo sólido que posea un centro de simetría, con sus correspondientes posiciones relativas, encontrar un plano que pase por la recta y divida al cuerpo en dos partes iguales.

Entonces, fácilmente podemos recordar que cualquier plano que divida al cuerpo en dos partes iguales, pasa necesariamente por el centro de simetría. Y el plano que resuelve el problema será aquel que está determinado por la recta dada y el centro de simetría del cuerpo sólido. Por último, mediante una inferencia deductiva, obtenemos la solución del problema original, ya que como el icosaedro posee un centro de simetría, entonces el plano buscado en el problema original se encuentra determinado por la recta y el centro de simetría, del icosaedro

Ahora tomemos de nuevo el problema propuesto anteriormente, de encontrar la diagonal de un paralelepípedo rectangular. Pues bien, en los pasos dados en la Sección 11.3 para llegar a comprenderlo bien, hemos establecido una generalización del problema al simbolizar la aristas con las letras a, b y c, y la diagonal buscada con la letra x; puesto que así nos estamos refiriendo al caso general, en donde cada una de las aristas y la diagonal pueden adoptar cualquier valor concreto. Si, en lugar de establecer esa generalización, nos hubiésemos limitado a considerar los datos específicos (esto es, los valores particulares de las aristas), entonces hubiéramos tenido que hacer un dibujo a escala y todo el examen, del problema hubiera resultado mucho menos claro. En cambio, tal vez sería útil particularizar el problema en otro sentido. En tal caso, podríamos considerar el problema de:

Encontrar la diagonal de un cubo, conociendo su arista.

Lo que tendríamos así sería el caso particular del paralelepípedo rectangular,, cuando el largo, el ancho y la altura son iguales, o sea, que: a= b= c. Otra particularización del problema, que en ese caso sería extrema, es la de considerar que una de las aristas fuese nula, esto es, por ejemplo, que: c= 0. De ese modo, reduciríamos el problema al de:

Encontrar la diagonal de un paralelogramo rectangular, conociendo sus lados. Para algunas personas, el examen de uno de estos casos particulares pude ser más sugestivo que el del caso general. Y, por lo demás, en todas las ocasiones, cuando no encontremos el camino que nos Ileva a la solución de un problema, después de examinarlo tal y como lo tenemos propuesto, entonces podemos hacer varios tanteos, examinando diversos casos particulares.

También podemos sustituir el problema propuesto, considerando otro problema análogo más simple. En el caso del ejemplo, podríamos recurrir a la analogía existente entre la geometría en el espacio y la geometría plana. Así, tendríamos que el paralelepípedo rectangular es análogo al paralelogramo rectangular y, por ende, también son análogas sus propiedades correspondientes. Por consiguiente, nos podríamos proponer el problema análogo más simple de:

Encontrar la diagonal de un paralelogramo rectangular, conociendo sus lados.

Como se advierte desde luego, en este caso hemos llegado así a proponernos el mismo problema al que llegamos por la particularización extrema del problema original. Por otro lado, podemos igualmente variar el problema, siempre con el propósito de vislumbrar la manera de encontrar su solución. En el ejemplo que venimos examinando, podríamos proponernos un problema semejante, como es el de:

Encontrar la distancia entre dos puntos, P y Q, conociendo sus coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio, que son: P(x₁, y₁, z₁) y Q(x₂, y₂, z₂) .

Pudiera ser que nuestros conocimientos de geometría elemental no nos hubieran permitido concebir un plan para resolver el problema original. Pero, en cambio, con el auxilio de nuestros conocimientos de geometría analítica, tal vez podamos recordar la fórmula que determina esa distancia, que es: `P`Q= Y, luego, es posible que nos podamos imaginar a PQ como la diagonal del paralelepípedo rectangular cuyas aristas son: (x₁-x₂), (y₁-y₂), (z₂-z₂). De ser posible imaginarnos eso, ya tendríamos la solución del problema propuesto originalmente. En efecto, en la fórmula que nos da la distancia entre los dos puntos, vemos que la diagonal es igual a la raíz cuadrada de las aristas, o sea:

_{x =}

En fin, otra manera de establecer el plan para resolver el problema, es la de descomponerlo en otros problemas más simples que luego, al recomponerlos de nuevo, nos lleven otra vez al problema original. Así, en el ejemplo en cuestión, ya hemos podido advertir en la Sección 11.3 que la diagonal buscada se encuentra contenida en una figura, ADGF, es un paralelogramo rectangular, dado que sus lados AD y FG son paralelos, por ser ambos perpendiculares al plano CDHG. Por su parte, los lados AF y DG también son paralelos por ser las intersecciones del plano ADGF con los planos CDHG y ABFE, puesto que estos planos son paralelos y el plano ADGF es perpendicular a ellos, justamente por estar definido por las perpendiculares comunes AD y FG. En tales condiciones, el problema se puede resolver encontrando la diagonal AG del paralelogramo ADGF, del cual conocemos los lados AD y FG, que son iguales a la altura c del paralelepípedo. Por otra parte, tenemos que el lado DG es al propio tiempo la diagonal del paralelogramo CDHG, del cual conocemos sus cuatro lados, puesto que: DH= CG= b; y: DC= HG= a. Entonces, resolviendo este segundo problema auxiliar para encontrar DG y, luego aplicando ese valor al primer problema auxiliar, al resolver éste habremos resuelto igualmente el problema propuesto, ya que AG es la diagonal del paralelepípedo. Para completar el plan, solamente nos falta recordar que la diagonal del paralelogramo se obtiene mediante la aplicación del teorema de Pitágoras. En consecuencia, para resolver el segundo problema auxiliar aplicamos la ecuación que expresa el teorema de Pitágoras, por lo cual tenemos que:

DG²= DC² + DH².

Y, en el primer problema auxiliar, tendremos la ecuación:

AG²= DG² + AD² ;

de donde, por la primera ecuación, resulta:

AG²= (DC² + DH²) + AD²; o,

simplemente: AG²= DC² + DH² + AD².

Ahora bien, conforme al simbolismo adoptado inicialmente, tenemos que: AG= x; DC= a; DH= b; y, AD= c; por consiguiente, sustituyendo esos valores en la ecuación anterior, resulta:

x²= a² + b² + c².

Finalmente, extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación tenemos así:

_{x =}

De esta manera. sólo nos falta sustituir los valores específicos de a, b y c, y ejecutar las operaciones indicadas, para encontrar el valor de x, que es la diagonal buscada.

6. Ejecución del plan.

Para realizar el plan conducente a la resolución de un problema, es necesario recurrir a los conocimientos ya adquiridos, aplicando buenos hábitos de pensamiento, concentrándose mentalmente con intensidad y, sobre todo, ejecutando las operaciones y razonamientos con toda paciencias. En realidad, el plan nos da simplemente una línea general, a la cual debemos hacer concurrir los diversos pasos de la ejecución. Por lo tanto, cada una de los pasos debe ser examinado cuidadosamente en detalle, verificando su exactitud y su fundamento. Los pasos dudosos deben ser aclarados completamente; antes de continuar avanzando. Después de arribar a la solución, es indispensable volver a examinar todos los pasos, verificar cada una de las operaciones y, finalmente, reconsiderar lo ejecutado en su conjunto. Más aún, siempre es conveniente plantearse la cuestión de tratar de obtener el mismo resultado por un camino diferente o indagar si es posible simplificar los razonamientos y las operaciones realizadas. Algunas veces se puede obtener así un procedimiento diferente y mejor. Otras veces se logran descubrir de esa manera hechos novedosos e interesantes. Y, en todos los casos, esa reconsideración nos permite adquirir el hábito de ordenar los conocimientos para poder utilizarlos con mayor eficacia en otras ocasiones, a la vez que nos sirve para desarrollar nuestra aptitud en la resolución de problemas.

Por otra parte, de la misma manera en que se utilizan los ademes para ejecutar una construcción, así también se emplean razonamientos provisorios y simplemente plausibles para llegar a establecer finalmente un razonamiento riguroso. Entonces, tal como, al estar suficientemente avanzada y firme una construcción, se retiran los ademes y la estructura se mantiene ya por sí sola, análogamente, cuando se han avanzado suficientemente en la solución de un problema, se deben abandonar los razonamientos provisorios, para hacer ver que el resultado se sostiene solamente por razonamientos rigurosos y no sólo plausibles. En el momento de concebir el plan para obtener la solución de un problema, no debemos dudar en emplear un razonamiento simplemente plausible y heurístico. Pero, cuando pasamos a la ejecución del plan, debemos ir cambiando la perspectiva y aceptar únicamente las pruebas decisivas y rigurosas. También debemos preocuparnos del orden en que abordamos la ejecución detallada del plan, particularmente cuando se trata de un problema complejo. Para proceder en orden, no se debe omitir ningún detalle, ni tampoco se deben dejar de comprender muy bien los vínculos de cada uno de ellos con el conjunto y, menos aún, se deben perder de vista las articulaciones entre las etapas principales. Desde luego, no sería razonable empeñarse en examinar particularmente los detalles secundarios, antes de estar seguros de la exactitud de las grandes articulaciones del razonamiento. Si existe una falla en el desarrollo del conjunto, será inútil verificar la exactitud de algún detalle de menor importancia. Además, el orden en el cual examinaremos los detalles de un problema, puede ser diferente de aquel en que los hayamos concebido; y el orden en que enunciemos los detalles en la exposición definitiva de la solución, puede ser también distinto a las dos ordenaciones anteriores. La solución de un problema por nuestros propios medios constituye siempre un descubrimiento, aunque sea bastante modesto. Y, como ocurre con todo descubrimiento, el resultado obtenido sirve como punto de partida para hacer otros descubrimientos. Entonces, cada vez que se resuelve un problema es necesario utilizar su solución de diversas manera, aprovechando las posibilidades que ofrece. Desde luego, el procedimiento seguido puede ser empleado para resolver otros problemas semejantes. También podemos imaginar nuevos problemas, transformando el problema original por medio de una generalización, de una particularización, de una analogía, de una descomposición, de una recomposición o de alguna combinación de varias de esas operaciones. Y, después que hayamos conseguido resolver esos nuevos problemas, ellos mismos nos llevarán a plantearnos otros más, y así sucesivamente. En todo caso, en la resolución de un cierto tipo de problemas la experiencia será completa solamente cuando hayamos podido encontrar la solución de algún problema inventado por nosotros mismos. Y, por eso mismo, para aprender a resolver problemas es indispensable acabar por ser capaces de plantearnos otros problemas diferentes y resolverlos.

7. Perspectiva problemática.

La historia de la ciencia se nos muestra como una actividad encaminada a la resolución de los diversos problemas que el propio avance del conocimiento suscita. Así, el hallar la solución de un problema planteado, lejos de constituir la terminación de la tarea, hace surgir nuevos problemas que, por lo general, son más difíciles de resolver, son más penetrantes o tienen mayor amplitud. Por lo tanto, el progreso científico no consiste simplemente en el esclarecimiento, la resolución y la eliminación de problemas, sino también en la extensión y el ahondamiento de los problemas anteriores, lo mismo que en el descubrimiento y la invención de nuevos problemas. De esta manera, la perspectiva problemática del conocimiento no se reduce con los avances logrados sino que, por lo contrario, se incrementa cada vez. En efecto, el descubrimiento incesante de nuevos aspectos en los cuales se muestra la existencia de los procesos del universo, cada vez con mayor amplitud y profundidad se traduce en el planteamiento ininterrumpido de problemas también nuevos. EI sistema de la ciencia, en el cual se van insertando los nuevos conocimientos adquiridos, se encuentra entonces en un estado de integración y de transformación continuas. Y así, por medio de las soluciones que se van encontrando a los problemas, se modifican los conocimientos anteriormente establecidos y se extiende el dominio de la ciencia. Como puede advertirse, en este sentido, el problema desempeña una función indispensable en la estructuración sistemática del conocimiento. El problema es, por decirlo así, la operación lógica que se aplica sin excepción al experimento, lo mismo que a la conclusión teórica y que, al propio tiempo, constituye su consecuencia. Por una parte, en el sistema parece encontrarse concentrada toda la certeza del conocimiento científico; mientras que en el problema parece radicar principalmente la incertidumbre. Pero, por eso mismo, la resolución de problemas y la sistematización de los resultados obtenidos, son fases complementarias en la investigación científica. En lugar de excluirse, la sistematización y la problematización se implican recíprocamente. Esas dos operaciones son instrumentos indispensables e inseparables en la actividad científica. Lo que es más, constituyen los factores, aparentemente incompatibles, en los cuales se apoya el desarrollo dialéctico del pensamiento. Porque, en último término, tanto el sistema como el problema corresponden en el pensamiento a las formas fundamentales en que el universo manifiesta su existencia. Por un lado, el universo se muestra como una trabazón inextricable y total; en tanto que, por otra parte, se particulariza a la vez en procesos cambiantes, los cuales plantean justamente la necesidad de descubrir su conexión dentro del sistema del universo.