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Generalidades
Uno de los objetivos del hombre de ciencia consiste en explicar satisfactoriamente los fenómenos que ha decidido indagar. Como el trabajo del científico suele ser muy difícil ya que con mucha frecuencia se debe enfrentar a problemas casi siempre bastante complejos, eso determina entre otras cosas, que para poder darle respuesta a hechos no previstos y algunas veces no observables se ve en la imperiosa necesidad de emplear conceptos, definiciones y criterios teóricos. Procediendo de esta manera, combinando y dándole configuración lógica a un conjunto de hipótesis, leyes y hechos mediante construcciones adecuadas, establece teorías, las cuales, por lo general, sirven para tratar de dar explicaciones razonables, vastas, complejas, rigurosas y amplias a los fenómenos objeto de estudio. Quien hace ciencia, relaciona hipótesis, leyes, teorías y hechos a través de los modelos científicos; éstos, pueden conceptualizarse suponiendo que con ellos es posible: (a) Representar a la teoría (b) Indicar las condiciones ideales en las que se comprueban hipótesis, leyes o teorías y (c) Considerar un caso particular de la teoría general correspondiente.

El modelo científico podría definirse como un instrumento ideal utilizado para demostrar, de una manera lógica y simplificada, la solidez y veracidad de cualquier teoría. Lo anterior induce a dar por cierto que: una teoría científica es consistente si está fundamentada en un modelo. Entre las características del diario quehacer científico de nuestra era, es de mucha relevancia el uso del concepto de modelo en las ciencias factuales y formales así como también en las modernas ciencias del hombre en las cuales los investigadores trabajan, por ejemplo, con modelos de: sociedades, enseñanza, comportamiento, inteligencia, personalidad y relaciones laborables, entre otros.

Modelos matematicos
Para efectos del presente trabajo, se consideran sólo los modelos matemáticos, los cuales están incluidos en los modelos formales, entendiéndose por éstos, las representaciones de estructuras idealizadas (sistemas o teorías) que se suponen semejantes a los que se conocen como sistemas reales.
En otras palabras, puede afirmarse que los modelos formales permiten abstraer la forma lógica de los modelos concretos (físicos), lográndose de esta manera, mucha generalidad.
Los modelos formales deben expresarse de manera tal que con ellos sea posible dar a conocer tanto la teoría que intenta representar como el referirla a hechos concretos. Un modelo formal puede ser formulado como un modelo matemático, por medio de ecuaciones que expresen las correspondientes relaciones cuantitativas.

Por ejemplo: el modelo,
Es representativo en su teoría porque se deduce a partir de leyes que tienen validez universal. Para comprender los modelos matemáticos se requiere una clave de los símbolos empleados, o ecuaciones tal como la anterior en la cual se necesita saber que: Ec = energía cinética; m = masa y v significa velocidad.
Los modelos constituyen uno de los resultados de toda una compleja labor realizada por los científicos que es ampliamente conocida como ciencia, cuya praxis es función de un extenso, arduo, agotador y difícil proceso, que recibe el nombre de método científico.

Lo expresado en las páginas precedentes, permite ahondar en ciertos aspectos que son imprescindibles para entender el proceso evolutivo de los modelos; los de mayor relevancia, se presentan a continuación:

1. La experiencia demuestra que el estudio de cualquier sistema debe estar basado en un modelo.
2. En el diseño y construcción de modelos no existe ningún sustituto que sea más efectivo que los conocimientos y la experiencia.
3. La formulación de modelos puede considerarse como una mezcla de ciencia y arte.
4. El procedimiento a seguir, para elaborar modelos, comprende: normas, requisitos, condiciones y reglas que deben cumplirse.
5. La formulación y empleo de modelos, conjuntamente con las modernas técnicas de simulación, se utilizan para diseñar sistemas o para la investigación de las operaciones de sistemas existentes.
6. Los sistemas reales complejos, por lo general, están subordinados a ciertas acciones, acontecimientos, fuerzas o cargas que con frecuencia son de carácter aleatorio.
7. En general, en el diseño de un modelo no se incluyen todas las variables ni todas las interacciones que entre ellas puedan producirse debido, fundamentalmente, a las razones siguientes:

1. Falta de recursos.
2. Poca información acerca de las características de algunas variables intervinientes.
3. Desconocimiento de las relaciones que pudieran existir entre algunos componentes del sistema objeto de estudio.
4. En el análisis del fenómeno indagado, al investigador no le interesa incluir todas las variables y sus interacciones.
5. El nivel del conocimiento científico existente para el momento en que se diseña un modelo, imposibilita al investigador incluir, en el mismo, ciertas variables que pudieran mejorar su adecuación a la realidad.

En todo modelo intervienen las siguientes variables:

1. Variable de Entrada. Con bastante frecuencia, se les llama variables exógenas, variables externas, variables independientes o excitaciones. Sobre esta clase de variables, se puede ejercer control.
2. Estado del Modelo. El modelo se encuentra en cierto estado antes de que actúen las variables externas. Sobre el estado del modelo no se tiene control en ese momento; puede haber sido alterado por ciertas acciones anteriores o por otras acciones que están fuera de control.
3. Variables de Salida. También se les conoce como respuestas, variables endógenas o variables dependientes. Estas, dependen de las variables de entrada, del estado, del sistema y del modelo.

   Si se tiene un conductor y a lo largo de él se desplaza una corriente eléctrica I en el intervalo de tiempo t, la cantidad de carga eléctrica Q que atraviesa dicho conductor es:
   El modelo matemático anterior describe la relación entre un parámetro y dos variables.
   El modelo en referencia es una aproximación del fenómeno real, ya que este depende, entre otros factores, de la temperatura y de la estructura atómica del material que constituye el conductor.
   El modelo mencionado puede representarse gráficamente de la siguiente forma:
   Q = I.t

4. Para mejorar un modelo, esto es, lograr que represente mejor a un sistema o una situación real, es necesario hacerlo más complejo y ello determina mayores esfuerzos humanos, técnicos y económicos. Esta mejora, podría dar como resultado expresiones matemáticas de mayor dificultad.

Etapas que deben cumplirse para construir un modelo

1. Descripción del modelo y formulación de los objetivos. Lo anterior significa que el modelo se inicia con una descripción verbal del problema y los objetivos a lograr para darle solución. En esta etapa, el investigador debe proponer, según su criterio, un modelo que se acerque lo más posible a la situación real (sistema).
2. Se realiza un análisis exhaustivo del sistema o situación problema.
3. Se determinan las relaciones que existen entre las variables que intervienen en el sistema objeto de estudio.
4. A continuación se plantea la ecuación o sistema de ecuaciones que describen matemáticamente el fenómeno indagado.
5. Después que se han establecido las ecuaciones que representan al modelo, en la mayoría de los casos se recurre a métodos numéricos, de simulación o a las computadoras para resolverlas; es necesario verificar si el programa trabaja y si los métodos numéricos y de simulación son los adecuados.
6. Si todo ha salido bien, se procede a validar el modelo; es decir, se determina si los resultados que se obtienen del modelo coinciden con los que se han observado o con los que se espera tener.
7. Si la validación es adecuada, se puede emplear el modelo para hacer inferencias.

Aquí se representan, las etapas mencionadas.
Descripción del modelo y formulación de objetos
Análisis del sistema y de las relaciones entre las variables
Planteamiento de relaciones matemáticas
Verificación del modelo
Validación del modelo
Inferencias
Fases para el diseño y uso de los modeloss según E. Ander - Egg

En general, se suelen distinguir cuatro (4) fases para el diseño y uso de los modelos:

1. Definición del problema.
2. Formulación del modelo.

1. Elección de variables a incluir en el modelo.
2. Elección del nivel apropiado de agregación y clasificación.
3. Decisiones sobre el tratamiento del tiempo.
4. Especificaciones (fines para los que se va a utilizar el modelo).
5. Evaluación.

1. Simulación y validación del modelo.
2. Aplicaciones del modelo.

Como los modelos son representaciones de los sistemas, a medida que los sistemas evolucionan, como consecuencia de la investigación científica, desde ser muy sencillos hasta conformar estructuras complejas, en esa misma medida, evolucionan los modelos correspondientes.

En 1.662, el físico inglés Robert Boyle (1.627 – 1.691), como conclusión de sus investigaciones, estableció la relación:
Este modelo se basó en la comprensibilidad de los gases.
En dicho modelo se tiene:
P = Presión sobre el gas
V = Volumen del gas
cte = Valor constante
P. V = cte
P1. V1 = P2. V2

El modelo (1) también puede expresarse:
El modelo de Boyle es incompleto ya que la masa m del gas y la temperatura T se consideran constantes.
Según lo anterior, el modelo matemático de Boyle establece que: Para una masa fija (m) de gas, a temperatura (T) constante, la presión (P) es inversamente proporcional al volumen (V) del gas.
El modelo de Boyle puede escribirse también, en forma general:
En el modelo (3) la expresión A(m, T) indica que la constante A depende de la masa y de la temperatura.
P. V =cte = A (m, T)

Modelo de Charles
En 1.787, el físico francés Jacques Alexandre Charles (1.746 – 1.823) estableció que:
El volumen de un gas es proporcional a la temperatura absoluta.
Lo anterior puede expresarse mediante el modelo matemático:

Siendo:
V= cte
T
V = Volumen del gas
T= Temperatura absoluta
El Modelo de Charles puede escribirse (para un caso en particular) en la forma siguiente:
Este modelo, propuesto para hacer más real el modelo (1), mejora algo el estudio de los gases, pero al igual que el Modelo de Boyle, tiene restricciones en la masa (m) del gas y la presión (P) ejercida sobre el gas ya que ambas deben ser constantes.
V1 = V2
T1 = T2

Según lo anterior, el Modelo de Charles, en forma general, establece lo siguiente:
Para una masa fija (m) de un gas a presión constante (P), el volumen (V) es directamente proporcional a la temperatura absoluta (T).

Lo anterior puede expresarse mediante el modelo matemático:
V = cte = B( m, P)
T

La expresión B(m, P) indica que la constante B depende de la masa y la presión. La ley establecida por Charles a veces se le llama Ley de Gay-Lussac.

Ecuación de estado de los gases
El modelo matemático conocido como Ecuación de Estado de los Gases puede deducirse combinando las ecuaciones (1) y (4)
V
P . V = cte y = cte
T

Si mantenemos la temperatura (T) constante y variamos el volumen (Vo) hasta adquirir el valor (V1), la presión (Po) variará también hasta un valor (P1); según esto, el gas pasó a un nuevo estado con lo cual, la ecuación de Boyle, puede escribirse:

Según la Ley de Charles, el cambio de estado puede expresarse por la relación:
Es decir:
V1= Vo
T = To
P. V = Po . V1
V1= Vo . T
To

Remplazando en (7) a V1 por su igual encontrado en (9), resulta:
T
P . V = Po . Vo .
To

Por lo tanto:
La ecuación (10) constituye la Ecuación de Estado de los gases. El modelo anterior puede expresarse, en forma general:
P. V = Po. Vo
T = To
P. V = cte = R(m)

Puede observarse que la constante R sólo depende de la masa del gas.
La Ecuación de Estado establece que: Para una masa fija (m) de un gas, el producto de su volumen (V) por su presión (P), dividido por su temperatura absoluta (T) es constante.
A la Ecuación de Estado, con frecuencia, se le llama Ley de Boyle-Mariotte y Gay-Lussac.
El modelo de la Ecuación de Estado, solo se aplica a los gases perfectos (gases ideales) pero no se cumple para los gases reales.
Aunque el modelo de la Ecuación de Estado es más completo que los modelos propuestos por Boyle y Charles, el avance del conocimiento indujo a los hombres de ciencia a establecer un modelo que se adaptara mejor al comportamiento real de los gases.

Modelo de la teoría sinética de los gases
En 1.860 los científicos Maxwell (1.831 – 1.879) escocés y Boltzmann (1.844- 1.906) austríaco, propusieron la Teoría Cinética de los Gases en la que desarrollaron una ecuación que mostraba la velocidad entre las moléculas de un gas, a una temperatura determinada. Dicho modelo es:

En donde:
P = presión del gas
V = volumen del gas
N = número total de moléculas del gas
m = masa (igual para todas las moléculas del gas)
v = velocidad (igual para todas las moléculas que conforman el gas).

Como la energía cinética de una sola molécula es: 1. m . B V2
Y la energía cinética de todas las moléculas es 2 N. M V2, Resulta:
3
P. V= 2 ( 1 N. M V2)
3 2
El modelo anterior nos dice que: Para un gas perfecto, el producto de la presión por el volumen es igual a dos tercios de la energía cinética total de traslación de sus moléculas.
El modelo representado por la ecuación (13) debe correlacionarse con los resultados experimentales que se conocen para los gases; es decir, se debe relacionar de algún modo la energía cinética total de las moléculas con la temperatura. Para esto, se procede de la siguiente manera:

La ecuación (13) puede escribirse en la forma:
P. V = 2 N. 1 m. V2

El Modelo (17) relaciona la presión, el volumen, el número de moléculas y la temperatura del gas ideal, si se cumplen las siguientes hipótesis:

1. Un gas ideal (perfecto) está conformado por moléculas idénticas que son esferas rígidas perfectamente elásticas.
2. Entre dos choques, las moléculas se desplazan con movimiento rectilíneo uniforme.
3. Las moléculas no ejercen fuerzas entre sí a excepción de cuando se producen choques entre ellas.
4. La energía cinética media por molécula es proporcional a la temperatura Kelvin.

E. La expresión (17) representa el Modelo de la Ecuación General de Estado de los Gases Ideales.
La Ley General de los Gases Ideales, contiene todas las leyes de los gases que hemos analizado.
Si en la ecuación (17) hacemos:
N = n moléculas de gas
K = R,
se tiene otra expresión para la Ecuación General de Estado de los Gases Ideales:

Todos los modelos estudiados son sólo aplicables a gases ideales.
En un gas real las moléculas no son partículas puntiformes y además ejercen fuerzas de atracción entre
P. V = n. R. T

La energía no es sólo la cinética sino que existe parcialmente energía potencial de interacción de las moléculas del gas. En estas condiciones, el gas no cumple con las hipótesis formuladas y no puede aplicarse la Ecuación General de Estado. Se han realizado varios trabajos para construir modelos dinámicos que tratan de establecer ecuaciones que describan con exactitud el comportamiento de los gases reales, pero ninguno ha logrado describir en forma precisa todos los aspectos térmicos observados en los gases reales. Uno de los intentos más interesantes con relación a este problema, se debe a Van Der Waals (1.837 – 1.923).
El físico holandés Johannes Diderik Van Der Waals, propuso en 1.873 una versión más completa, pero más complicada de la ecuación general de los gases pues introdujo dos nuevas constantes. Este trabajo puede considerarse como el más importante de su vida de científico ya que por ello recibió, en 1.910, el Premio Nobel de Física.

Todo modelo tiene un lapso de validez. Este límite de permanencia se debe a que siempre en la construcción de un modelo hay condiciones que simplifican el sistema real objeto de estudio. En el caso del modelo de gas ideal, la simplificación más importante consiste en suponer a las moléculas del gas como partículas puntuales. Como las moléculas tienen tamaño, en aquellos casos en que sea necesario incluir esa característica física, el modelo del gas ideal deja de ser válido para darle paso a otro que se ajuste más al sistema natural.
El Modelo de Boyle experimentó un proceso evolutivo durante 211 años; todos los modelos de gases ideales, a partir de 1.662, lo incluyen como caso particular.
El Modelo de Van Der Waals es el que hasta el presente se ajusta a las condiciones de los gases reales; pero ese modelo tendrá también una duración limitada hasta que los científicos elaboren otro mejor.

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Resumen
Todo modelo puede considerarse como un conjunto organizado de ideas concebidas de manera tal que conformen una estructura conceptual física, química o matemática, con la cual sea posible explicar satisfactoriamente el comportamiento, las características o la naturaleza del fenómeno que se investiga. Si fuera posible conocer la realidad en toda su extensión, se podría elaborar un modelo de la totalidad del universo; pero como hasta ahora tal empresa no es posible, esto determina que deben construirse modelos que sólo representen una de sus partes. Cuando se dispone de un modelo con el cual se intenta representar un cuerpo de conocimientos para efectos de verificación, se lleva a cabo un estudio comparativo con la realidad por medio de la observación y la experimentación. Si los experimentos confirman las hipótesis contenidas en el modelo, se procede a relacionar las leyes resultantes de la comprobación correspondiente y luego se elabora una teoría, a partir de la cual se diseñan nuevos modelos que permitan comprender con mayor claridad lo que ocurre en la realidad; a continuación, se inicia de nuevo el proceso. Con el avance de la ciencia, el modelo en cuestión podría desecharse, ampliarse o formar parte de una teoría de mayor alcance. Lo anterior induce a plantear como hipótesis que algunos modelos experimentan un proceso evolutivo. En este trabajo se confirma dicha hipótesis de permanencia para el Modelo de Robert Boyle relacionado con la teoría de los gases.