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1. INFERENCIA
Comparemos los siguientes razonamientos:
(1) Todos los amigos de Juan son mis amigos. Todos mis amigos son simpáticos por lo tanto, todos los amigos de Juan son simpáticos.
(2) Ninguno de los amigos de Juan es mi amigo. Ninguno de los amigos de Juan es simpático por lo tanto, ninguno de mis amigos es simpático.
Nos damos cuenta inmediatamente de la diferencia entre (1) y (2): Si razonamos como en (1), lo hacemos correctamente, y si razonamos como en (2), lo hacemos incorrectamente. Decimos que en (1) la conclusión (el enunciado que comienza con por lo tanto) se sigue de las premisas (los enunciados que el razonamiento usa como base, en este caso los dos primeros enunciados de (1) y (2)). Cuando una conclusión se sigue de sus premisas y las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera también. En (2) la conclusión no tiene por qué ser verdadera, incluso en el caso de que las premisas lo fueran. Podría ocurrir que de hecho la conclusión fuera verdadera pero ello no dependería de su relación con las premisas. En (1), sin embargo, podemos estar seguros de que si las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. (1) es, pues, una inferencia lógicamente válida.
Uno de los más importantes aspectos de la lógica es el estudio de las inferencias válidas y de los enunciados que son necesariamente verdaderos. Hay dos tipos fundamentales de inferencia: las que son necesariamente válidas y las que lo son solo con un cierto grado de probabilidad.
A cada tipo de inferencia le corresponde un tipo especial de estudio lógico. El estudio de las inferencias necesariamente válidas se desarrolla en el seno de la lógica deductiva, mientras que las inferencias que son válidas hasta un cierto grado de probabilidad se estudian en la lógica inductiva. Consideremos los dos ejemplos siguientes, que ponen de manifiesto la diferencia entre una inferencia deductiva y una inferencia inductiva.
(3) INFERENCIA DEDUCTIVA
Premisas: Si nieva, hace frío
Está nevando
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Conclusión: Hace frío
(4) INFERENCIA INDUCTIVA
Premisas: Cuando nieva es habitual que haga frío
Está nevando
_______________________________
Conclusión: Hace frío
Vemos que la conclusión de una inferencia inductiva es válida sólo con un cierto grado de probabilidad y que no es necesariamente válida como en el caso de la inferencia deductiva.
Hasta el momento, la lógica deductiva ha sido estudiada de manera más completa que la lógica inductiva. Dado que la lógica deductiva nos abre las perspectivas más interesantes sobre la estructura del lenguaje, en lo que sigue nos ocuparemos sólo de ella. A partir de ahora utilizaremos el término ‘lógica’ como sinónimo de ‘lógica deductiva’.
La lógica es, pues, el estudio de aquellas propiedades que hacen necesariamente válida una inferencia o que hacen necesariamente verdadero un enunciado. Puesto que las inferencias válidas son aquellas inferencias en las que las premisas implican lógicamente la conclusión, el centro de interés de la lógica reside en el estudio de la implicación lógica o consecuencia.
La validez lógica y la verdad lógica son, en cierto sentido, totalmente independientes de la validez o verdad de hecho de lo que se afirma o argumenta. La validez y verdad lógica son, pues, independientes de la naturaleza de los objetos a los que se refieren afirmaciones y argumentaciones. Para aclarar lo que queremos decir, vamos a estudiar algunos ejemplos de inferencia.
(5) Premisas: Los anarquistas o los comunistas lograrán la victoria final
Los comunistas no ganarán
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Conclusión: Los anarquistas lograrán la victoria final
Nótese que la validez de este razonamiento no depende de que se hable de comunistas o anarquistas y de la victoria final. El siguiente razonamiento es del mismo tipo y válido por las mismas razones:
(6) Premisas: Colón o Leif Eriksson descubrieron América
Colón no lo hizo
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Conclusión: Leif Eriksson descubrió América
Las propiedades comunes a los razonamientos (5) y (6) que hacen válidos a ambos constituyen lo que llamamos forma lógica de los razonamientos. Estudiaremos más detenidamente este concepto en la sección próxima.
Para aclarar el hecho de que la validez de un razonamiento es totalmente independiente de la verdad de hecho de sus premisas y de su conclusión, vamos a analizar tres razonamientos más.
(7) Premisa: La lechuza y 'la zorra son pájaros’
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Conclusión: La lechuza es un pájaro
(7) es una inferencia válida, a pesar de que su premisa es de hecho falsa y su conclusión verdadera.
(8) Premisas: Si la luna es un trozo de queso verde, todo el mundo es feliz
La luna es un trozo de queso verde
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Conclusión: Todo el mundo es feliz
(8) es una inferencia válida, a pesar de que tanto las premisas como la conclusión son probablemente falsas.
Si intentamos combinar una premisa verdadera con una conclusión falsa como en (9) encontramos por fin que en este caso no puede haber una inferencia válida.
(9) Premisa: Toda ballena es mamífero
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Conclusión: Las ballenas son peces
Así pues, la inferencia lógica transmite la verdad; nos dice que algo es un hecho si las premisas son verdaderas. De otro modo: si las premisas de un razonamiento son verdaderas, la conclusión ha de serlo también. Puesto que se puede decir que la validez lógica y la verdad lógica son independientes de la verdad de hecho, se dice a menudo que dependen de la forma (estructura) y del significado de aquellos enunciados que aparecen en los razonamientos estudiados. La lógica deja de lado el problema de si lo que se dice es realmente verdadero, para concentrarse en el estudio de qué tendría que ser verdadero si las premisas fueran verdaderas. La verdad de hecho de las premisas y la conclusión no es cuestión lógica. Desde luego si las premisas son verdaderas de hecho, la conclusión de una inferencia válida ha de ser verdadera también.
La validez lógica y la verdad lógica son formales, algo, que a menudo se interpreta como significado que la validez y verdad lógicas dependen de la forma (estructura) del enunciado o razonamiento, más que de aquello acerca de lo que el enunciado trata. Por todo esto se puede decir que las inferencias lógicas (las verdades lógicas) son válidas (verdaderas) independientemente de la configuración del mundo, de cómo sea el mundo de hecho.
2. FORMA LÓGICA
Veamos ahora algunos ejemplos en los que un razonamiento se expresa en un sólo enunciado:
(1) Todo hombre es mortal; por lo tanto, algún hombre es mortal.
(2) Todo cisne es blanco; por lo tanto, algún cisne es blanco.
(3) No todos los hombres son sabios; por lo tanto, algunos hombres no son sabios.
(4) No todos los cisnes son blancos; por lo tanto, algunos cisnes no son blancos.
Vemos de nuevo que es la forma lógica de los enunciados, y no aquello de lo que tratan, lo que es decisivo para la validez del razonamiento. No podemos seguir la pista de la validez hasta la verdad de hecho de los enunciados de que se trate. El razonamiento en (2) es válido a pesar de que, en realidad, no todos los cisnes son blancos. Hay también cisnes negros. La validez del razonamiento depende sólo del hecho de que la conclusión tendría que ser verdadera si las premisas lo fueran.
Se puede decir que la forma lógica de las premisas determina qué es verdadero (qué conclusiones se pueden sacar) en el supuesto de que las premisas sean verdaderas. Un razonamiento es válido cuando la forma lógica de las premisas tiene realmente la conclusión como consecuencia. De qué traten las premisas es irrelevante. Pueden ser de hecho verdaderas o falsas. En lógica, nos interesamos sólo por si la verdad de las premisas implica realmente la verdad de la conclusión y prescindimos totalmente de la cuestión de qué es lo que realmente se da.
Vamos a estudiar ahora cómo es posible decir que la validez lógica depende de ciertas relaciones formales entre enunciados y componentes de enunciados. Estas relaciones formales dependen habitualmente de la aparición en un enunciado de ciertas partículas o palabras lógicas. En los cuatro ejemplos de arriba estas partículas lógicas son todos, algunos y no. Podemos escribir ahora los cuatro ejemplos del siguiente modo:
(1) y (2): Todo S es P; ‑por lo tanto algún S es P
(3) y (4): No todos los S son P; por lo tanto algunos S no son P
La forma lógica de los cuatro razonamientos resulta ahora más clara y podemos ver mas fácilmente las relaciones formales que los hacen válidos. (5) es un principio lógico importante que podemos plantear ahora:
(5) Si un razonamiento o enunciado, con una cierta forma lógica, es lógicamente válido o verdadero, entonces todos los razonamientos y enunciados de la misma forma lógica son válidos o verdaderos respectivamente.
Una advertencia es aquí de rigor: la forma lógica no es lo mismo que lo que la gramática tradicional ha llamado forma gramatical. De hecho, es un difícil problema el determinar con exactitud la correspondencia entre forma gramatical y forma lógica. Como hemos de ver más adelante, en los últimos años se han propuesto diferentes teorías sobre la relación entre forma lógica y forma gramatical. Se ha propuesto, por ejemplo, que la forma lógica se identifique con ciertos conceptos de una u otra versión de la gramática transformacional, como 'estructura profunda', 'estructura conceptual' o 'representación semántica'.
Podemos ver con facilidad que es insuficiente el tomar en cuenta sólo la estructura gramatical superficial cuando se sacan conclusiones lógicas. Estudiemos los dos enunciados siguientes:
(6) Ricardo es un corrupto asesino
(7) Ricardo es un presunto asesino
Si bien (6) y (7) tienen estructuras superficiales muy semejantes, la conclusión expresada en (8) se sigue sólo de (6).
(8) Ricardo es un asesino
Dado que el concepto, de forma (estructura) lógica es tan importante en lógica ‑hemos visto que es la forma lo que determina la validez lógica y la verdad‑ uno de los objetivos más importantes en lógica es caracterizar lo más precisa y claramente posible lo que la forma, lógica sea. Un modo de lograrlo es encontrar un método de expresión o notación que refleje la forma lógica de un enunciado y las relaciones lógicas que pueden existir entre las formas lógicas de los enunciados.
3. ENUNCIADOS Y PROPOSICIONES
Hemos dicho que la lógica se ocupa de las inferencias, es decir, de cómo se pasa de las premisas a las conclusiones. Al introducir los conceptos de premisa y conclusión, hablamos de ellos como si se tratara de enunciados. Parecería entonces que la lógica estudiara relaciones entre enunciados. Esto no es completamente exacto, al menos no lo es si por 'enunciado' se entiende una cierta secuencia de sonidos o letras. Veamos el enunciado (1) una vez más.
(1) Todos los amigos de Juan son mis amigos
Si oímos este enunciado, ¿podemos sacar conclusiones del tipo que sea acerca de personas individuales?
No. En primer lugar necesitamos saber quién ha usado el enunciado, pues si no, no sabríamos a quién se refiere el mis. Para saber qué inferencias son posibles a partir de un cierto enunciado, necesitamos saber primero qué dice el enunciado acerca del mundo. El mismo enunciado, utilizado por diferentes personas o en diferentes momentos, puede decir cosas muy diferentes sobre el mundo. Si por ejemplo Josefina, hablando de Napoleón, a las dos de la tarde del 6 de enero de 1806, dice 'en este momento tiene hambre', dirá algo bastante diferente de lo que habría dicho Krupskaya si hubiese utilizado el mismo enunciado pero refiriéndose a Lenin, a las tres de la tarde del 7 de enero de 1920. Uno de los enunciados habría sido una afirmación acerca de Napoleón, mientras que el otro lo hubiera sido acerca de Lenin.
Lo determinante en una inferencia es lo que el enunciado dice acerca del mundo y no el enunciado en cuanto secuencia de sonido o signos.
Introduciremos el término proposición para designar aquello que un enunciado dice acerca del mundo.
Como ya hemos dicho, el mismo enunciado puede expresar diferentes proposiciones en diferentes ocasiones. Inversamente, diferentes enunciados pueden expresar una y la misma proposición. El enunciado Hoy es lunes, usado el lunes, expresa la misma proposición que Ayer era lunes, usado el martes.
Cuando queremos señalar una proposición en el lenguaje ordinario usamos a menudo oraciones completivas con que. La distinción tradicional entre estilo directo y estilo indirecto puede entenderse, simplificando un poco las cosas, como una distinción entre hablar acerca de enunciados y hablar acerca de proposiciones. Compárese (2) y (3):
(2) Juan Lanas dijo: 'Los impuestos son buenos para los labriegos'
(3) Juan Lanas dijo QUE los impuestos eran buenos para los labriegos
(2) es verdadero sólo si Juan Lanas utilizó las palabras Los impuestos son buenos para los labriegos, (3) es verdadero si afirmó el contenido de la oración completiva que los impuestos eran buenos para los labriegos. (3) seguiría siendo verdadera si hubiera utilizado otras palabras o incluso otro lenguaje:
(4) Skatter är bra för bönder
(5) Pagar impuestos beneficia a los agricultores
En (3), expresión en estilo indirecto, decimos que Juan Lanas afirmó cierta proposición más bien que un cierto enunciado.
El lenguaje ordinario ofrece cierto apoyo a la idea de que lo que aparece en las inferencias son proposiciones. Parece más natural usar expresiones tales como verdadero e implica a propósito de oraciones introducidas con un que que a cerca de enunciados en forma de cita. Vemos más abajo que las expresiones (a) son preferibles a las expresiones (b).
(6) (a) Es verdad que la nieve es blanca
(b) ‘La nieve es blanca' es verdadero
(7) (a) Que la nieve sea blanca implica que la nieve no es negra
(b) ‘La nieve es blanca' implica 'la nieve no es negra'
En vez de ‘proposición' podríamos haber usado la palabra afirmación (stament) que a menudo significa proposición en el lenguaje ordinario. El inconveniente de usar ‘afirmación’ es que parece implicar alguien que afirme – alguien que realice la afirmación.
Lo normal en lógica es pasar por alto las complicadas relaciones entre enunciados y proposiciones y fingir que cada enunciado corresponde exactamente a una proposición y viceversa. Ciertos lógicos ‑por ejemplo, W. v. 0. Quine‑ piensan incluso que la proposición es una entidad superflua. De echo es posible prescindir de la distinción entre enunciados y proposiciones en tanto se eviten expresiones tales como pronombres personales (yo, tú, él) y adverbios de tiempo como hoy, ahora, ayer, cuya interpretación depende de la situación o contexto. Se puede, pues, usar los términos ‘enunciados’ y ‘proposición’ sin distinguirlos. En lo que sigue, vamos a actuar de acuerdo con esta práctica habitual, aunque el lector debería tener presente la distinción al menos en ciertos momentos.
4. MUNDOS POSIBLES Y CONJUNTO‑VERDAD DE UNA PROPOSICION
Podemos interpretar formalmente el concepto de proposición utilizando la teoría de conjuntos. Para lograrlo, introducimos el concepto de mundo posible. (En la conversación cotidiana usamos a menudo palabras como 'caso' o 'situación' en vez de 'mundo').
En primera aproximación la idea es ésta: cualquiera puede imaginarse que el mundo en que vivimos podría ser diferente en algún aspecto de lo que en realidad es, y podemos también hablar con sentido de lo que ocurriría si el mundo fuera diferente, como en el siguiente enunciado:
(1) Si no hubiera llovido esta mañana, habría ido al campo
Podemos entonces decir que 'el mundo podría haber sido de otra manera'. En vez de esta expresión compleja utilizaremos la expresión más corta 'mundo posible’.
Hemos dicho ya que una proposición es lo que un enunciado dice, en una determinada ocasión, sobre el mundo. Podemos decir esto de otro modo. Supongamos que cierta proposición, por ejemplo la de que Lincoln admiraba a Jefferson Davis, es verdadera. Esto es lo mismo que decir que nuestro mundo pertenece a un conjunto de mundos posibles, en concreto el conjunto de mundos posibles en los que ocurre que Lincoln admiraba a Jefferson Davis. Para cada proposición podemos encontrar un conjunto de mundos posibles, en los que la proposición es verdadera. Llamaremos a este conjunto el conjunto-verdad de la proposición. Así pues, una manera de caracterizar una proposición es dar su conjunto-verdad, esto es, el conjunto de mundos posibles en que es verdadero.
Inversamente, un mundo posible puede caracterizarse como el conjunto de proposiciones que son verdaderas en él (y que, por lo tanto, lo describen).
Otra manera equivalente de caracterizar una proposición consiste en hablar de la función característica del conjunto-verdad en vez de tomar en consideración el conjunto‑verdad mismo. Obtenemos entonces una función que asigna a cada mundo posible uno de los valores 'verdadero' o 'falso', según que la proposición sea verdadera o falsa en el mundo en cuestión. Algunos lógicos identifican, desde luego, la proposición con esta función. Debido a ello nos encontramos a veces con afirmaciones de que 'las proposiciones son funciones de mundos posibles a valores de verdad'. Quizá una parábola ayude a captar la idea. Pensemos en la proposición como en una condición sobre mundos posibles. Imaginemos un ser sobrenatural que tiene todos los mundos posibles en un gran cesto, de donde los va sacando uno por uno y los selecciona según que cumplan la condición o no la cumplan (es decir, según que la proposición sea verdadera o falsa en el mundo en cuestión). Si se quiere, el ser sobrenatural estampa en cada mundo la palabra 'verdadero' o 'falso' según que se cumpla o no la condición, al modo en que un inspector del gobierno estampa la palabra ‘aprobado’ o no ‘aprobado’ en las mercancías según que estas cumplan ciertas condiciones o no. De este modo, una proposición sería un principio de clasificación de mundos posibles en dos categorías: aquellos en que la proposición es verdadera y aquellos en que s falsa. En este sentido una proposición es – o mejor dicho, corresponde a- una función de mundos posibles a valores de verdad.
5. ENUNCIADOS ANALÍTICOS Y SINTÉTICOS
La verdad analítica se introduce a menudo como un concepto que engloba el de verdad lógica. Toda verdad lógica es analítica, pero hay verdades analíticas que son verdades lógicas. Las verdades analíticas que son también verdades lógica, por ejemplo.
(1) No es cierto que el agua sea y ni sea un elemento químico
son verdaderas por su forma lógica, mientras que las otras verdades analíticas dependen de ciertas relaciones semánticas entre palabras que no pertenecen al vocabulario 'lógico' del enunciado o razonamiento. La sinonimia (igualdad o semejanza de significado) y la hiponimia (inclusión de significado) son las más comunes entre tales relaciones semánticas. El enunciado (2) es un ejemplo de enunciado que, debido a una sinonimia parcial, es analíticamente verdadero pero no lógicamente verdadero.
(2) Ningún soltero está casado
(3) es una inferencia analíticamente válida, por razón de una hiponimia, pero no es lógicamente válida.
(3) Premisa: Esto es una rosa
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Conclusión: Esto es una flor
La diferencia entre verdades analíticas que dependen de la forma lógica y verdades que dependen de relaciones semánticas es una diferencia de grado y no de categoría. La distinción entre lo que uno quiera considerar forma (o estructura) y lo que se quiera considerar significado, es, al menos en parte, arbitraria. En última instancia, el que una palabra pertenezca al vocabulario lógico o no es una cuestión de decisión.
Si se niega un enunciado analíticamente verdadero, el resultado es un enunciado que ha de ser falso en virtud de su significado o de su forma ‑un enunciado analíticamente falso o contradicción, por ejemplo (4).
(4) No es verdad que todo soltero no está casado
Los enunciados analíticamente verdaderos o analíticamente falsos se llaman enunciados analíticos. Todos ellos tienen en común que su valor de verdad es independiente de cómo sea el mundo. Un enunciado analíticamente verdadero es VERDADERO EN TODO MUNDO POSIBLE; un enunciado analíticamente falso es FALSO EN TODO MUNDO POSIBLE. Podemos decir que el conjunto‑verdad de los enunciados analíticamente verdaderos es 1 (el conjunto de todos los mundos posibles y que el de los enunciados analíticamente falsos es Æ.
Los enunciados que no son analíticos se llaman sintéticos. Son verdaderos o falsos en dependencia de la configuración del mundo; en otras palabras, son verdaderos en unos mundos y falsos en otros. Un ejemplo de enunciado sintético es
(5) Carlos I fue decapitado en 1649
Igual que la frontera entre verdad lógica y verdad analítica es, hasta cierto punto, arbitraria, no hay una frontera fija y estricta entre enunciados analíticos y sintéticos. ¿Debemos considerar que (6) es analítico?
(6) El coche de Juan tiene color
Parece que en nuestro mundo todo objeto material ha de tener color. ¿Ocurre lo mismo en todo mundo posible? Hasta ahora no tenemos respuestas adecuadas a tales preguntas; todavía esperamos una teoría en la que se distingan y relacionen de manera exacta los enunciados analíticos, sintéticos y lógicamente verdaderos.
6. ENUNCIADOS SIMPLES Y COMPUESTOS
Un rasgo importante de la concepción tradicional de la estructura lógica es la idea de que todo enunciado puede ser analizado hasta el nivel de los enunciados simples o atómicos. Estos enunciados simples se combinan o relacionan entre sí de maneras diversas para formar enunciados compuestos o moleculares. Todo enunciado es simple o compuesto, es decir, todo enunciado es simple o, está construido partiendo de enunciados simples de una manera muy precisa.
La distinción entre enunciados simples y compuestos ni es nueva ni exclusiva de la lógica. Existe también en la gramática tradicional, en donde las interdependencias entre enunciados simples 'y compuestos se han estudiado desde siempre bajo los títulos de coordinación y subordinación (parataxis e hipotaxis). (1) muestra cómo se puede formar un enunciado compuesto a partir de dos enunciados simples por medio de 'y’.
7. EL ALCANCE DEL ANÁLISIS LÓGICO
El análisis de la forma lógica se puede desarrollar en diferentes niveles o con diferentes grados de finura. Un modo tradicional de dividir la lógica, lo hace según el nivel de refinamiento en que el análisis se desarrolla.
El tipo de análisis lógico más superficial o grosero es aquel en que se investigan las relaciones lógicas que existen entre enunciados simples y compuestos, dejando totalmente de lado la estructura lógica interna de los enunciados simples. Los enunciados simples se toman como unidades no analizadas y sólo se presta atención al modo en que se relacionan entre sí.
El estudio de las relaciones entre enunciados, en cuanto distinto del estudio de las relaciones internas al enunciado, se realiza en la lógica de enunciados o proposicional. Si además tomamos en cuenta la estructura interna de los enunciados simples, alcanzamos el nivel de la lógica de predicados y de varias lógicas modales.