La lógica matemática es una variedad de la lógica filosófica.

Los objetivos principales de la lógica son esencialmente:

1. Eliminar las ambigüedades propias del lenguaje ordinario.
2. Dar rigor a aquello que se está estudiando.

En lógica existen dos procesos fundamentales:

1. Conceptualización: consiste en definir los objetos matemáticos que se van a definir.
2. Demostración: consiste en demostrar rigurosamente aquellas propiedades, proposiciones o teoremas que se estén estudiando.

Def.: Se llama proposición a cualquier afirmación que es verdadera (V) o es falsa (F), pero no ambas cosas a la vez.

Observación: para nombrar a las proposiciones se suelen utilizar las letras p, q, r, s, ...

Operaciones entre proposiciones:

1. Negación
2. Conjunción
3. Disyunción
4. Condicional
5. Bicondicional

Def.: Dada una proposición p, se llama negación de p, y se escribe ¬p, a la afirmación que dice "no p". ¬p es verdadera cuando p es falsa.

Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama conjunción de p y q, y se escribe pq, a la proposición que dice "p y q". pq es verdadera cuando p y q son verdaderas simultaneamente.

Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama disyunción de p y q, y se escribe pq, a la proposición que dice "p ó q". pq es verdadera cuando al menos una de ellas lo es.

Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama condicional de p y q, y se escribe pq, a la proposición que dice "(no p) ó q". pq es verdadera cuando q es verdadera, o bien p y q son falsas a la vez.

Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama bicondicional de p y q, y se escribe pq, a la proposición que dice "(p condicional q) y (q condicional p)". pq es verdadera cuando p y q son verdaderas o falsas simultaneamente.

 A continuación vemos, mediante un ejemplo, lo que se ha dado en llamar "tablas de verdad" de las proposiciones que acabamos de definir:

p	q	¬p	pq	pq	pq	pq
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

Observaciones:

1. Decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad. También decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando la bicondicional que se forma entre ellas es una tautología y viceversa.
2. Según la tabla de verdad que tiene una proposición, esta se clasifica en tautología, contradicción e indeterminación.

Def.: Se dice que una proposición es una tautología cuando su tabla de verdad sólo tiene valores de verdadero.

Def.: Se dice que una proposición es una contradicción cuando su tabla de verdad sólo tiene valores de falso.

Def.: Se dice que una proposición es una indeterminación cuando su tabla de verdad tiene valores de verdadero y de falso.

Def.: Una implicación es una condicional de la forma pq, tal que es verdadera suponiendo que p es verdadera, y tiene que existir una relación causa-efecto entre p y q. Además, una implicación entre p y q se escribe pq, y se lee "p implica a q" ó "si p entonces q".

Def.: Una equivalencia es una bicondicional de la forma pq, en donde pq es una implicación y qp es también una implicación. Se escribe pq, y se lee "p es equivalente a q" o "p si y sólo si q".

Observaciones:

1. Si p es una implicación, entonces q tiene que ser verdadera.
2. Dada pq, se dice que p es la hipótesis o premisa de la implicación, y que q es la conclusión o tesis de la implicación.
3. Dada pq, se dice que p es condición suficiente de q, y q es condición necesaria de p.
4. Dada pq, se dice p es condición necesaria y suficiente de q, y que q es condición necesaria y suficiente de p.
5. Dada pq, se dice que:
6.  
   1. pq es el teorema directo.
   2. ¬p¬q es el teorema contrario.
   3. qp es el teorema recíproco.
   4. ¬q¬p es el teorema contrarecíproco.
7. El teorema directo y el teorema contrarecíproco son equivalentes. El teorema contrario y el teorema recíproco son equivalentes.

Métodos de demostración de una implicación: Cuando hay que probar que pq, tres de los métodos de demostración más utilizados son:

1. Método directo: Consiste en llegar a obtener lo que nos dice la tesis, utilizando únicamente para ello los datos de la hipótesis.
2. Método del contrarecíproco: consiste en probar el teorema contrarecíproco de la implicación, es decir, ¬q¬p.
3. Método de reducción al absurdo (o de contradicción): Consiste en probar pq demostrando que se cumple lo siguiente: (p¬q)¬p ó (p¬q) q.

Def.: Dada una afirmación en la que aparece una variable x, P(x), se dice que P(x) es una función proposicional cuando al sustituir la x por un valor determinado, P(x) pasa a ser una proposición. Si la función proposicional tiene más de una variable, escribimos P(x,y,z,...).

Observaciones:

Generalmente, para convertir una función proposicional en una proposición, se utilizan los llamados cuantificadores, que son de dos tipos:

1. Existencial:  x / P(x). Y se lee "existe, al menos, un x tal que se verifica P(x)".
   Nota: Para decir "existe un único x tal que P(x)" escribimos ! x / P(x).
2. Universal:  x , P(x). Y se lee "para todo x se verifica P(x)".

La negación de los cuantificadores es de la siguiente forma:

1. ¬( x / P(x) )   x , ¬P(x)
2. ¬( x , P(x) )   x / ¬P(x)